Question

15．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{3}t\\ y=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，曲線C₁與C₂交于兩點(diǎn)P，Q，
（Ⅰ）求曲線C₂的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先將原極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ兩邊同乘以ρ后利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系化成直角坐標(biāo)方程即得；
（Ⅱ）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{3}t\\ y=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），普通方程為4x-$\sqrt{2}$y-8=0，圓心在直線4x-$\sqrt{2}$y-8=0上，即可求|PQ|的值．

解答 解：（Ⅰ）將原極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ，化為：ρ²=4ρcosθ，
化成直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=4x；
（Ⅱ）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{3}t\\ y=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），普通方程為4x-$\sqrt{2}$y-8=0
x²+y²=4x的圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑為2，圓心在直線4x-$\sqrt{2}$y-8=0上，
∴|PQ|=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．