Question

已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且雙曲線的漸近線與圓相切.

（1）求雙曲線的方程；

（2）設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，是雙曲線的右支上的任意一點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）外切.

【解析】

試題分析：（1）利用“點(diǎn)在雙曲線上”以及“雙曲線的漸近線與圓”這兩個(gè)條件列兩個(gè)方程，求解與，進(jìn)而確定雙曲線的方程；（2）根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法，考查兩圓連心線的長(zhǎng)度與兩圓半徑之間的相互關(guān)系，同時(shí)注意將點(diǎn)與左焦點(diǎn)連接起來(lái)，注意到兩圓圓心分別為與的中點(diǎn)，利用中位線以及雙曲線的定義確定兩圓半徑與連心線長(zhǎng)度之間的關(guān)系，進(jìn)而確定兩圓的位置關(guān)系.

試題解析：（1）因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以①.

因?yàn)殡p曲線的的漸近線與圓相切，

所以圓心到直線的距離等于2，

即，整理得②.

聯(lián)立①與②，解得所以雙曲線的方程為．

（2）由（1）得，，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為.

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，

所以，即，

所以.

因?yàn)橐噪p曲線的實(shí)軸為直徑的圓的圓心為，半徑為；

以為直徑的圓的圓心為，半徑為，

所以兩圓圓心之間的距離為.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910342044883381/SYS201310291036384274937063_DA.files/image035.png">，

所以以為直徑的圓與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓外切.

考點(diǎn)：雙曲線、點(diǎn)到直線的距離、兩圓的位置關(guān)系