Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos²x-2sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]的最大值及所對(duì)應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式和輔助角公式對(duì)已知函數(shù)解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到：f（x）=$-2sin（2x-\frac{π}{3}）$，利用正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)來(lái)求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域來(lái)求正弦函數(shù)的值域．

解答 解：（ I）由已知得$f（x）=\sqrt{3}cos2x-sin2x$=$-2sin（2x-\frac{π}{3}）$．
所以函數(shù)f（x）的最小正周期T=π．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$，
得$\frac{5}{12}π+kπ≤x≤\frac{11}{12}π+kπ（k∈Z）$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[\frac{5}{12}π+kπ，\frac{11}{12}π+kπ]（k∈Z）$．
（ II）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$，則$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2}{3}π]$，
∴$sin（2x-\frac{π}{3}）∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$．
故函數(shù)f（x）的最大值為$\sqrt{3}$，
由2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$得x=0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]的最大值及所對(duì)應(yīng)的x值是0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．