13.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知$\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{ab}$•(${\frac{a}{c}$cosB+$\frac{c}$cosA)=1.
(1)求角C;
(2)若c=$\sqrt{7}$,△ABC的周長(zhǎng)為5+$\sqrt{7}$,求△ABC的面積S.

分析 (1)由題意和正、余弦定理化簡(jiǎn)已知的式子,由兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后,由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出角C;
(2)由題意求出a+b的值,由余弦定理化簡(jiǎn)后求出ab的值,代入三角形的面積公式求出△ABC的面積.

解答 解:(1)∵$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{ab}•(\frac{a}{c}cosB+\frac{c}cosA)=1$,
∴由正、余弦定理得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,
則2cosCsin(A+B)=sinC,即2sinCcosC=sinC,
∵sinC≠0,∴$cosC=\frac{1}{2}$,
由0<C<π得,$C=\frac{π}{3}$;…(6分)
(2)由條件得,$a+b+c=5+\sqrt{7}$,且$c=\sqrt{7}$,
∴a+b=5,由余弦定理得:a2+b2-2abcosC=7,
則(a+b)2-3ab=7,解得ab=6,
∴△ABC的面積${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC=\frac{3\sqrt{3}}{2}$…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、余弦定理,兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式等,以及三角形的面積公式的應(yīng)用,注意內(nèi)角的范圍,考查化簡(jiǎn)、變形能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.函數(shù)f(x)=$\sqrt{4-|x|}$+ln$\frac{{x}^{2}-7x+12}{x-4}$的定義域?yàn)椋ā 。?table class="qanwser">A.(-4,3)B.(-4,3]C.(3,4]D.(3,4)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.《張丘建算經(jīng)》中女子織布問題為:某女子善于織布,一天比一天織得快,且從第2天開始,每天比前一天多織相同量的布,已知第一天織5尺布,一月(按30天計(jì))共織390尺布,則從第2天起每天比前一天多織(  )尺布.
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{8}{15}$C.$\frac{16}{31}$D.$\frac{16}{29}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

1.不等式組$\left\{\begin{array}{l}{-2x≤x+6}\\{7-x>1}\end{array}\right.$的整數(shù)解解集為{-2,-1,0,1,2,3,4,5};
不等式x2-1<3的解用區(qū)間表示為(-2,2).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.已知函數(shù)f(x)=$\sqrt{3}$cos2x-2sinxcosx-$\sqrt{3}$sin2x.
(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,$\frac{π}{2}$]的最大值及所對(duì)應(yīng)的x值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.能夠保證直線a∥平面β的條件是(  )
A.b?β,a∥bB.a∥b∥c,b?β,c?β
C.a?β,b?β,a∥bD.b?β,A、B∈a,C、D∈b,AC=BD

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.已知x0(0<x0<1)是函數(shù)f(x)=lnx-$\frac{1}{x-1}$的一個(gè)零點(diǎn),若a∈(0,x0),b∈(x0,1)則( 。
A.f(a)<0,f(b)<0B.f(a)>0,f(b)>0C.f(a)<0,f(b)>0D.f(a)>0,f(b)<0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.(1)已知集合A={x|ax2-3x+1=0,a∈R},若A中只有一個(gè)元素,求a的取值范圍.
(2)集合A={x|x2-6x+5<0},C={x|3a-2<x<4a-3},若C⊆A,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.已知f(x)=x2+kx+5,g(x)=4x,設(shè)當(dāng)x≤1時(shí),函數(shù)y=4x-2x+1+2的值域?yàn)镈,且當(dāng)x∈D時(shí),恒有f(x)≤g(x),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案