Question

2．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)） 以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程ρ+2rcosθ=0（r＞0）．
（I ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）當(dāng)r為何值時(shí)，曲線C 上有且只有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1？

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)能求出直線l的普通方程，曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ²+2rρcosθ=0，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由曲線C 上有且只有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，得到曲線C的圓心C（-r，0）到直線l的距離d+1=r，由此能求出r．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線l的普通方程為x+y-1=0，
∵曲線C的極坐標(biāo)方程ρ+2rcosθ=0（r＞0），即ρ²+2rρcosθ=0，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²+2rx=0，即（x+r）²+y²=r²（r＞0）．
（Ⅱ）∵曲線C 上有且只有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，
∴曲線C的圓心C（-r，0）到直線l的距離d+1=r，
即$\frac{|r-1|}{\sqrt{2}}$+1=r，解得r=1．
∴當(dāng)r=1時(shí)，曲線C 上有且只有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查兩線段和的求法，涉及到直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．