Question

19．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=2AB=2，平面α過定點(diǎn)A，平面α∥平面A₁BC，面α∩平面ABC=m，面α∩平面A₁C₁C=n，則m，n所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 取AB中點(diǎn)E，AC中點(diǎn)F，AA₁中點(diǎn)G，則平面EFG∥平面α，由平面EFG∩平面ABC=FE，平面EFG∩平面A₁C₁C=GF，面α∩平面ABC=m，面α∩平面A₁C₁C=n，得到∠EFG是m，n所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此利用余弦定理能求出m，n所成角的余弦值．

解答 解：取AB中點(diǎn)E，AC中點(diǎn)F，AA₁中點(diǎn)G，
則平面EFG∥平面A₁BC，∴平面EFG∥平面α，
∵平面EFG∩平面ABC=FE，平面EFG∩平面A₁C₁C=GF，
面α∩平面ABC=m，面α∩平面A₁C₁C=n，
∴m∥EF，n∥GF，
∴∠EFG是m，n所成角（或所成角的補(bǔ)角），
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=2AB=2，
∴EF=$\frac{1}{2}$，EG=FG=$\frac{1}{2}\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴cos∠EFG=$\frac{E{F}^{2}+F{G}^{2}-E{G}^{2}}{2EF•GF}$=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{5}{4}-\frac{5}{4}}{2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴m，n所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．