Question

1．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的方程為$sinθ-\sqrt{3}ρ{cos^2}θ=0$．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）寫出直線l與曲線C交點的一個極坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用極坐標與直角坐標互化方法，求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）將$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\sqrt{3}t\end{array}\right.$，代入$y-\sqrt{3}{x^2}=0$得，$\sqrt{3}+\sqrt{3}t-\sqrt{3}{（{1+\frac{1}{2}t}）^2}=0$，求出交點坐標，即可直線l與曲線C交點的一個極坐標．

解答 解：（Ⅰ）∵$sinθ-\sqrt{3}ρ{cos^2}θ=0$，∴$ρsinθ-\sqrt{3}{ρ^2}{cos^2}θ=0$，
即$y-\sqrt{3}{x^2}=0$；
（Ⅱ）將$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\sqrt{3}t\end{array}\right.$，代入$y-\sqrt{3}{x^2}=0$得，$\sqrt{3}+\sqrt{3}t-\sqrt{3}{（{1+\frac{1}{2}t}）^2}=0$，即t=0，
從而，交點坐標為$（{1，\sqrt{3}}）$，
所以，交點的一個極坐標為$（{2，\frac{π}{3}}）$．

點評 本題考查極坐標與直角坐標互化，考查參數(shù)方程的運用，比較基礎．