16.在平面直角坐標(biāo)系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(x,y)為整點,下列命題中正確的是①③④(寫出所有正確命題的編號).
①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點;
②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點;
③直線l經(jīng)過無窮多個整點,當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點;
④存在恰經(jīng)過一個整點的直線.

分析 逐項判斷即可.①舉例說明即可;②舉反例即可判斷;③說明當(dāng)直線l經(jīng)過兩個整點時直線l經(jīng)過無窮多個整點時關(guān)鍵;④舉例說明即可得到該命題正確.

解答 解:①如直線$y=\sqrt{2}x-\sqrt{3}$,該直線不經(jīng)過任何整點,因為當(dāng)x為整數(shù)時,y都是無理數(shù),故①正確;
②取k=$\sqrt{2}$,b=-$\sqrt{2}$都是無理數(shù),但直線$y=\sqrt{2}x-\sqrt{2}$經(jīng)過整點(1,0),故此②錯誤;
③當(dāng)直線經(jīng)過無窮多過整點時肯定經(jīng)過兩個整點,當(dāng)直線經(jīng)過兩個整點時,設(shè)兩整點的坐標(biāo)為(m,n),(p,q),且m≠p,n≠q,則直線方程為$y=\frac{n-q}{m-p}(x-m)+n$,當(dāng)x=k(m-p)+m,k∈Z時,y=k(n-q)+n∈Z,即直線經(jīng)過整點(k(m-p)+m,k(n-q)+n),k∈Z,k每取一個整數(shù)就對應(yīng)一整點,所以直線經(jīng)過無窮多個整點,故③正確;
④若直線方程為$y=\sqrt{2}x$,直線經(jīng)過整點(0,0),當(dāng)x取不為零的任意整數(shù)時,y都是無理數(shù),故該直線僅經(jīng)過整點(0,0),故④正確.
綜上可知,答案為:①③④.

點評 本題考查直線的相關(guān)知識.是一個新定義問題,解決此類問題關(guān)鍵是理解定義,再用定義結(jié)合所學(xué)知識解題.本題結(jié)論③的判斷是本題難點.

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