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【題目】已知a，b為正實數．

(1)求證：≥a＋b；

(2)利用(1)的結論求函數y＝(0<x<1)的最小值．

【答案】（1）見解析（2）1

【解析】

(1)證明：方法一：∵a>0，b>0，

∴(a＋b)＝a2＋b2＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.

∴≥a＋b，當且僅當a＝b時等號成立．

方法二：－(a＋b)

＝，

又∵a>0，b>0，∴≥0，

當且僅當a＝b時等號成立．∴≥a＋b.

方法三：∵a>0，b>0，∴a2＋b2≥2ab.

∴a＋≥2b，b＋≥2a，∴(a＋b)＋≥2a＋2b.

∴≥a＋b.(當且僅當a＝b時取等號)．

(2)∵0<x<1，∴1－x>0，

由(1)的結論，函數y＝≥(1－x)＋x＝1.

當且僅當1－x＝x，即x＝時等號成立．

∴函數y＝(0<x<1)的最小值為1.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知．

（1）求函數的最小正周期和對稱軸方程；

（2）若，求的值域．

【答案】（1）對稱軸為，最小正周期；（2）

【解析】

(1)利用正余弦的二倍角公式和輔助角公式將函數解析式進行化簡得到，由周期公式和對稱軸公式可得答案；(2)由x的范圍得到，由正弦函數的性質即可得到值域.

（1）

令，則

的對稱軸為，最小正周期；

（2）當時，，

因為在單調遞增，在單調遞減，

在取最大值，在取最小值，

所以，

所以．

【點睛】

本題考查正弦函數圖像的性質，考查周期性，對稱性，函數值域的求法，考查二倍角公式以及輔助角公式的應用，屬于基礎題.

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】已知等比數列的前項和為，公比，，．

（1）求等比數列的通項公式；

（2）設，求的前項和．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=sin（2x+ ）+sin（2x﹣ ）+2cos2x﹣1，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）在區(qū)間[ ]上的最大值和最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．

（1）若方程有實數根，求實數m的取值范圍；

（2）若方程兩實數根分別為x1、x2，且滿足x12+x22＝31+|x1x2|，求實數m的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，，其中是自然常數.

(1)判斷函數在內零點的個數，并說明理由；

(2)，，使得不等式成立，試求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某大學餐飲中心為了了解新生的飲食習慣，在某學院大一年級名學生中進行了抽樣調查，發(fā)現喜歡甜品的占.這名學生中南方學生共人。南方學生中有人不喜歡甜品.

（1）完成下列列聯表：

喜歡甜品

不喜歡甜品

合計

南方學生

北方學生

合計

（2）根據表中數據，問是否有的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；

（3）已知在被調查的南方學生中有名數學系的學生，其中名不喜歡甜品；有名物理系的學生，其中名不喜歡甜品.現從這兩個系的學生中，各隨機抽取人，記抽出的人中不喜歡甜品的人數為，求的分布列和數學期望.

附：.

0.15

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，若在區(qū)間[2，3]上有最大值1.

（1）求的值；

（2）求函數在區(qū)間上的值域；

（3）若在[2,4]上單調，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列命題中

①若，則函數在取得極值；

②直線與函數的圖像不相切；

③若(為復數集），且，則的最小值是3；

④定積分.

正確的有__________．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰好在失事船正南方向12海里A處，如圖，現假設：

①失事船的移動路徑可視為拋物線 ；
②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；
③救援船出發(fā)t小時后，失事船所在位置的橫坐標為7t
（1）當t=0.5時，寫出失事船所在位置P的縱坐標，若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向．
（2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？

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