Question

15．函數(shù)y=$\frac{x-1}{{x}^{2}-2x+5}$，x∈[3，5]的最大值與最小值分別是（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$
• C． $\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 令t=x-1，求得t的范圍，化函數(shù)y為$\frac{1}{t+\frac{4}{t}}$，求出t+$\frac{4}{t}$的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求最值．

解答 解：函數(shù)y=$\frac{x-1}{{x}^{2}-2x+5}$=$\frac{x-1}{（x-1）^{2}+4}$，
令t=x-1，由3≤x≤5，可得2≤t≤4，
則函數(shù)y=$\frac{t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}}$，
f（t）=t+$\frac{4}{t}$的導(dǎo)數(shù)為f′（t）=1-$\frac{4}{{t}^{2}}$，
由2≤t≤4，可得f′（t）≥0，
可得t+$\frac{4}{t}$在[2，4]遞增，即有t+$\frac{4}{t}$∈[4，5]，
則函數(shù)y的最小值為$\frac{1}{5}$，最大值為$\frac{1}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用換元法和導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．