Question

18．求函數(shù)y=cos²x+asinx+$\frac{5}{8}$a+1（0≤x≤$\frac{π}{2}$）的最大值．

Answer 1

分析 根據(jù)二倍角公式整理所給的函數(shù)式，得到關(guān)于正弦的二次函數(shù)，
根據(jù)所給角x的范圍，得到二次函數(shù)的定義域，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與所給定義域之間的關(guān)系，分類(lèi)求得函數(shù)的最大值．

解答 解：函數(shù)y=f（x）=cos²x+asinx+$\frac{5}{8}$a+1
=1-sin²x+asinx+$\frac{5}{8}$a+1
=-${（sinx-\frac{a}{2}）}^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{5}{8}$a+2；
∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，$\frac{π}{2}$]，
∴sinx∈[0，1]，
∴當(dāng)0≤$\frac{a}{2}$≤1，即0≤a≤2時(shí)，f（x）的最大值是
f（x）_max=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{5}{8}$a+2；
當(dāng)$\frac{a}{2}$＜0，即a＜0時(shí)，f（x）在sinx=0時(shí)取得最大值是
f（x）_max=f（0）=$\frac{5}{8}$a+2；
當(dāng)$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2時(shí)，f（x）在sinx=1取得最大值是
f（x）_max=f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{13}{8}$a+1；
綜上可知：a＜0時(shí)，f（x）_max=$\frac{5}{8}$a+1；
0≤a≤2時(shí)，f（x）_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{5}{8}$a+2；
a＞2時(shí)，f（x）_max=$\frac{13}{8}$a+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值及三角函數(shù)變化整理的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是對(duì)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸討論，是中檔題．