Question

4．若關于x的不等式xe^x-2ax+a＜0的非空解集中無整數解，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{2}{5{e}^{2}}$，$\frac{1}{3e}$）
• B． [$\frac{1}{3e}$，$\frac{\sqrt{e}}{4e}$）
• C． [$\frac{1}{3e}$，e]
• D． [$\frac{\sqrt{e}}{4e}$，e]

Answer 1

分析 設g（x）=xe^x，f（x）=2ax-a，求出g（x）的導數，判斷直線恒過定點，設直線與曲線相切于（m，n），求得切線的斜率和切點在直線上和曲線上，解方程可得a，再由題意可得當x=-1時，求得a，通過圖象觀察，即可得到a的范圍．

解答 解：設g（x）=xe^x，f（x）=2ax-a，
由題意可得g（x）=xe^x在直線f（x）=2ax-a下方，
g′（x）=（x+1）e^x，
f（x）=2ax-a恒過定點（$\frac{1}{2}$，0），
設直線與曲線相切于（m，n），
可得2a=（m+1）e^m，me^m=2am-a，
消去a，可得2m²-m-1=0，解得m=1（舍去）或-$\frac{1}{2}$，
則切線的斜率為2a=（-$\frac{1}{2}$+1）e${\;}^{-\frac{1}{2}}$，
解得a=$\frac{1}{4\sqrt{e}}$，
又由題設原不等式無整數解，
由圖象可得當x=-1時，g（-1）=-e^-1，f（-1）=-3a，
由f（-1）=g（-1），可得a=$\frac{1}{3e}$，
由直線繞著點（$\frac{1}{2}$，0）旋轉，
可得$\frac{1}{3e}$≤a＜$\frac{1}{4\sqrt{e}}$，
故選：B．

點評 本題考查不等式解法問題，注意運用數形結合的方法，結合導數的運用：求切線的斜率，以及直線恒過定點，考查運算能力和觀察能力，屬于中檔題．