Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程是ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$
（Ⅰ）直接寫(xiě)出C₁的普通方程和極坐標(biāo)方程，直接寫(xiě)出C₂的普通方程；
（Ⅱ）點(diǎn)A在C₁上，點(diǎn)B在C₂上，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把圓C₁的參數(shù)方程變形，兩式平方作和可得普通方程，進(jìn)一步求得極坐標(biāo)方程，展開(kāi)兩角和的正弦，結(jié)合x(chóng)=ρcosθ，y=ρsinθ可得C₂的普通方程；
（Ⅱ）由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)的距離，可得直線(xiàn)和圓相離，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離減去圓的半徑求得|AB|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x+2=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，兩式平方作和得：（x+2）²+y²=4，
C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=-4cosθ，
由ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，得$ρsinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}=2\sqrt{2}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ=2\sqrt{2}$，
得x+y-4=0．
（Ⅱ）C₁是以點(diǎn)（-2，0）為圓心，半徑為2的圓，C₂是直線(xiàn)．
圓心到直線(xiàn)C₂的距離為$\frac{|-2+0-4|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$＞2，直線(xiàn)和圓相離．
∴|AB|的最小值為$3\sqrt{2}-2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解得曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程和普通方程的互化，訓(xùn)練了直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．