2.已知函數(shù)f(x)=x2+bx+1滿足f(1+x)=f(1-x),$g(x)=\frac{f(x)}{x}$.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)判斷g(x)在[1,2]上的單調(diào)性并用定義證明你的結(jié)論;
(3)求g(x)在[1,2]上的最大值和最小值.

分析 (1)利用二次函數(shù)的對稱性求出b,然后求解函數(shù)的解析式.
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性的定義證明即可.
(3)利用函數(shù)的單調(diào)性,直接求解函數(shù)的最值即可.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=x2+bx+1滿足f(1+x)=f(1-x),
可知函數(shù)的對稱軸為:x=1,所以$-\frac{2}=1$,b=-2,
函數(shù)f(x)的解析式:f(x)=x2-2x+1.
(2)$g(x)=\frac{f(x)}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-2,g(x)在[1,2]上的單調(diào)性是增函數(shù),
證明:設(shè)1≤x1<x2≤2,x1-x2<0,$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$>0,
g(x1)-g(x2)=x1-x2+$\frac{1}{{x}_{1}}$$-\frac{1}{{x}_{2}}$=(x1-x2)($1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$)<0,
g(x1)<g(x2),
所以函數(shù)g(x)在[1,2]上是增函數(shù).
(3)由(2)可知,函數(shù)是增函數(shù),函數(shù)的最小值為:g(1)=0,
函數(shù)的最大值為:g(2)=$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查二次函數(shù)的簡單性質(zhì)以及解析式的求法,函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明,單調(diào)性的應用,考查計算能力.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

12.已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x-2sin2x+1(x∈R),若在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=$\sqrt{3}$,A為銳角,且f(A+$\frac{π}{8}$)=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$,則△ABC面積的最大值為( 。
A.$\frac{{3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}}{4}$B.$\frac{\sqrt{3}}{4}$C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$D.$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

13.△ABC中,cosA=$\frac{1}{8}$,AB=4,AC=2,則∠A的角平分線AD的長為( 。
A.$2\sqrt{2}$B.$2\sqrt{3}$C.2D.1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

10.已知a=${log_2}(\frac{1}{3})$,b=${(\frac{1}{3})^{-0.1}}$,c=2log52,則a,b,c的大小關(guān)系為(  )
A.c<b<aB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

17.設(shè)a=($\frac{1}{2}$)0.9,b=($\frac{1}{2}$)-0.3,c=log30.7,則有( 。
A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

7.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a3=24,S11=0
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的前n項和Sn;
(Ⅱ)設(shè)bn=$\frac{{S}_{n}}{n}$,求數(shù)列{bn}前n項和Tn的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

14.已知函數(shù)f(x)定義在R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上為減函數(shù),若f(log2m)+f(log${\;}_{\frac{1}{2}}$m)≤2f(1),則m的取值范圍是(  )
A.[2,+∞)B.(-∞,$\frac{1}{2}$]C.($\frac{1}{2}$,2]D.(0,$\frac{1}{2}$]∪[2,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

11.設(shè)函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時,f(x)<0,又f(1)=-2.
(I)求f(0)的值;    (II)求證:f(x)是奇函數(shù);
(III)當-3≤x≤3時,不等式f(x)≤2m-1恒成立,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

12.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+4.數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,且a1=f(d-1),a3=f(d+1).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)若Sn為數(shù)列{an}的前項和,求證:$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}…+\frac{1}{{S{\;}_n}}<\frac{3}{4}$.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案