Question

19．已知M（1+cos2x，1），N（1，$\sqrt{3}$sin2x+a）（x∈R，a∈R，a是常數(shù)），且y=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P是直線(xiàn)y=2x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，f（x）的最大值為4，求a的值；
（3）若x=$\frac{π}{2}$，a=3，求$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值，并求此時(shí)$\overrightarrow{OP}$的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的數(shù)量積公式得到y(tǒng)，然后化簡(jiǎn)三角函數(shù)式即可；
（2）利用（1）是結(jié)論，求出復(fù)合角的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求a；
（3）用t表示$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$，利用二次函數(shù)求最值．

解答 解：（1）$y=\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=1+cos2x+\sqrt{3}sin2x+a$，
∴$f（x）=cos2x+\sqrt{3}sin2x+1+a$；
（2）$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1+a$，
因?yàn)?0≤x≤\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{6}$時(shí)f（x）取最大值3+a，
所以3+a=4，a=1；                
（3）由條件，M（0，1），N（1，3），
因點(diǎn)P是直線(xiàn)y=2x上 設(shè)P（t，2t），
則$\overrightarrow{PM}=（{-t，1-2t}），\overrightarrow{PN}=（1-t，3-2t）$，
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=（{-t，1-2t}）•（1-t，3-2t）=5{t^2}-9t+3$，
當(dāng)$t=\frac{9}{10}$時(shí)，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$有最小值，
此時(shí)$\overrightarrow{OP}=（\frac{9}{10}，\frac{9}{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積公式的應(yīng)用以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值；熟練正弦函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．