Question

16．設(shè)曲線C：f（x）=alnx+bx，f'（x）表示f（x）導(dǎo)函數(shù)．已知函數(shù)f（x）在x=1處有極值-1
（1）求f（x）的解析式．
（2）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2f′（$\frac{1}{{a}_{n}}$）+3．求a₂，a₃，a₄，用不完全歸納法猜想{a_n}的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上用反證法證明：數(shù)列{a_n}中不存在任何不同三項(xiàng)成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）在x=1處有極值-1，列式計(jì)算．
（2）計(jì)算前4項(xiàng)，猜出通項(xiàng)，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）假設(shè)存在不同的三項(xiàng)a_m，a_n，a_p且m＞n＞p（m，n，p∈N*）成等差數(shù)列，

解答 解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?（0，+∞），f'（x）=\frac{a}{x}+b$-，
依題意得：f（1）=-1，f'（1）=0，
即：$\left\{\begin{array}{l}b=-1\\ a+b=0\end{array}\right.，解得\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$，
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-1$，∴f（x）=lnx-x…3；
（2）由（1）得：
∵${a_1}=1，{a_{n+1}}=2f'（\frac{1}{a_n}）+3=2（{a_n}-1）+3=2{a_n}+1$，有：
$\begin{array}{l}{a_2}=2{a_1}+1=3\\{a_3}=2{a_2}+1=7\\{a_4}=2{a_3}+1=15\end{array}$，
猜想：${a_n}=（{2^n}-1），（n∈N*）$---------------5
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=（2-1）=1成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，${a_k}=（{2^k}-1）$成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=2a_k+1=2（2^k-1）+1=2^k+1-1
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，
綜上所述，${a_n}=（{2^n}-1），（n∈N*）$時(shí)成立…8
（3）假設(shè)存在不同的三項(xiàng)a_m，a_n，a_p且m＞n＞p（m，n，p∈N*）成等差數(shù)列，
2a_n=a_m+a_p⇒2×2ⁿ-2=2^m+2^p-2
⇒22ⁿ⁺¹=2^m+2^p⇒2^n+1-p=2^m-p+1，
因?yàn)閙＞n＞p，∴n+1-p＞0，m-p＞0∴2^n+1-p為偶數(shù)，2^m-p+1為奇數(shù)，產(chǎn)生矛盾，
所以假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立．----------------------12

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的解析式的求解、數(shù)學(xué)歸納法、反證法，考查了歸納推理能力，屬于中檔題．