Question

8．某學校為了解學生的學習、生活等情況，決定召開一次學生座談會．此學校各年級人數(shù)情況如表：

年  級 性  別	高一年級	高二年級	高三年級
男	520	y	400
女	x	610	600

（1）若按年級用分層抽樣的方法抽取n個人，其中高二年級22人，高三年級20人，再從這n個人中隨機抽取出1人，此人為高三年級的概率為$\frac{10}{33}$，求x、y的值．
（2）若按性別用分層抽樣的方法在高三年級抽取一個容量為5的樣本，從這5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率．

Answer 1

分析 （1）依題意得：$\frac{20}{n}=\frac{10}{33}$，求出n=66，從而得到高一年級被抽取的人數(shù)為24．由此能求出x，y．
（2）若用分層抽樣的方法在高三年級抽取一個容量為5的樣本，設抽取男生的人數(shù)為m，則$\frac{m}{5}=\frac{400}{600+400}$，解得m=2，從而應抽取男生2人，女生3人，分別記作A₁、A₂；B₁、B₂、B₃，利用列舉法能求出至少有1人是男生的概率．

解答 解：（1）依題意得：$\frac{20}{n}=\frac{10}{33}$，解得n=66．…（2分）
所以高一年級被抽取的人數(shù)為66-22-20=24．
所以$\frac{20}{1000}=\frac{24}{520+x}=\frac{22}{y+610}$，解得x=680，y=490．…（6分）
（2）若用分層抽樣的方法在高三年級抽取一個容量為5的樣本，
設抽取男生的人數(shù)為m，則$\frac{m}{5}=\frac{400}{600+400}$，解得m=2，
所以應抽取男生2人，女生3人，分別記作A₁、A₂；B₁、B₂、B₃．…（8分）
記“從中任取2人，至少有1人是男生”為事件A．
從中任取2人的所有基本事件共10個：（A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），
（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₂，B₃）．
其中至少有1人為男生的基本事件有7個：
（A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃）．
所以從中從中任取2人，至少有1人是男生的概率為$\frac{7}{10}$．…（13分）
∴至少有1人是男生的概率$\frac{7}{10}$．…（14分）

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．