Question

5．某企業(yè)擬用10萬元投資甲、乙兩種商品．已知各投入x萬元，甲、乙兩種商品分別可獲得y₁，y₂萬元的利潤，利潤曲線${P_1}：{y_1}=a{x^n}$，P₂：y₂=bx+c，如圖所示．
（1）求函數(shù)y₁，y₂的解析式；
（2）應怎樣分配投資資金，才能使投資獲得的利潤最大？

Answer 1

分析 （1）將（1，1.25），（4，2.5）代入曲線${P_1}：{y_1}=a{x^n}$，解方程可得；由P₂：y₂=bx+c過原點，可得c=0，將（4，1）代入，可得b，即可得到P₂的方程；
（2）設甲投資x萬元，則乙投資為（10-x）萬元，投資獲得的利潤為y萬元，則$y=\frac{5}{4}\sqrt{x}+\frac{1}{4}（10-x）$=$\frac{5}{4}\sqrt{x}-\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}$，令$\sqrt{x}=t∈[0，\sqrt{10}]$，轉化為二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由題知（1，1.25），（4，2.5）在曲線P₁上，
則$\left\{\begin{array}{l}{1.25=a•{1}^{n}}\\{2.5=a•{4}^{n}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{5}{4}\\ n=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，即${y_1}=\frac{5}{4}\sqrt{x}$．
又（4，1）在曲線P₂上，且c=0，則1=4b，
則$b=\frac{1}{4}$，所以${y_2}=\frac{1}{4}x$．
（2）設甲投資x萬元，則乙投資為（10-x）萬元，
投資獲得的利潤為y萬元，則$y=\frac{5}{4}\sqrt{x}+\frac{1}{4}（10-x）$=$\frac{5}{4}\sqrt{x}-\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}$，
令$\sqrt{x}=t∈[0，\sqrt{10}]$，
則$y=-\frac{1}{4}{t^2}+\frac{5}{4}t+\frac{5}{2}=-\frac{1}{4}{（t-\frac{5}{2}）^2}+\frac{65}{16}$．
當$t=\frac{5}{2}$，即$x=\frac{25}{4}=6.25$（萬元）時，利潤最大為$\frac{65}{12}$萬元，此時10-x=3.75（萬元），
答：當投資甲商品6.25萬元，乙商品3.75萬元時，所獲得的利潤最大值為$\frac{65}{12}$萬元．

點評 本題考查函數(shù)模型在實際問題中的運用，考查待定系數(shù)法的運用：求解析式，考查換元法和二次函數(shù)的最值求法，考查運算能力．屬于中檔題．