Question

【題目】動點(diǎn)P滿足 + =2
（1）求動點(diǎn)P的軌跡F1 ， F2的方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為 ，求△OAB面 積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知得，點(diǎn)P到點(diǎn) 與 的距離之和等于

且 ，則動點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

則

即 ，b2=a2﹣c2=1，

動點(diǎn)P的軌跡C的方程為

（2）

解：設(shè)直線的方程為x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），

原點(diǎn)O到直線l的距離為 ，即 = ，

化簡得4n2=3（1+m2），即n2= （1+m2），

將直線l與橢圓C方程聯(lián)立得 ，化簡得（m2+3）y2+2mny+n2﹣3=0，

y1+y2=﹣ ，y1y2= ，

△=4m2n2﹣4（m2+3）（n2﹣3）=12m2﹣12n2+36=12（m2﹣n2+3）=3（m2+9）＞0…（6分）

將代入得 ，

∴ ，

令t=m2+3，t≥3，

當(dāng) = ，即t=6，m2=3時，S△OAB最大，

∴△OAB面 積的最大值

【解析】（1）由題意可知動點(diǎn)P的軌跡是以F1 ， F2為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程，由題意求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得n與m的關(guān)系，將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，弦長公式，及基本不等式得性質(zhì)，即可求得△OAB面 積的最大值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能得出正確答案．