Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1）（a∈R））．
（1）若a=-4，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若x∈（1，+∞），函數(shù)f（x）的圖象始終在x軸的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先求出f（x）在x=1處的切線斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線方式；
（2）x∈（1，+∞），函數(shù)f（x）的圖象始終在x軸的下方，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，觀察x＞1上函數(shù)值是否小于0即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=-4時(shí)，f（x）=lnx+2x-2，f'（x）=$\frac{1}{x}$+2，
∴切點(diǎn)為（1，0），斜率k=f'（1）=3．
所以，當(dāng)a=-4時(shí)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=3x-3．
（2）若x＞1，函數(shù)f（x）的圖象始終在x軸的下方，即x＞0，f（x）＜0恒成立．
∵f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1），∴f'（x）=$\frac{2-ax}{2x}$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，x＞1，f'（x）＞0
∴f（x）在x＞1上單調(diào)遞增，f（x）＞f（1）=0
∴a≤0不合題意．
②當(dāng)a≥2時(shí)，有0＜$\frac{2}{a}$≤1，f'（x）=$\frac{2-ax}{2X}$=-$\frac{a（x-\frac{2}{a}）}{2x}$＜0在x＞1上恒成立，
∴f（x）在x＞1上單調(diào)遞減，有f（x）＜f（1）=0，
∴a≥2滿足題意．
③當(dāng)0＜a＜2即$\frac{2}{a}$＞1時(shí)，由f'（x）＞0，可得1＜x＜$\frac{2}{a}$，由f'（x）＜0，可得x＞$\frac{2}{a}$
∴f（x）在（1，$\frac{2}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{2}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（$\frac{2}{a}$）＞f（1）=0
∴0＜a＜2不合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與切線方程求法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬中等題．