Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$C：\left\{\begin{array}{l}x=5cosα\\ y=3sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（4cosθ-5sinθ）+40=0
（1）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最小距離．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出曲線C的普通方程；由直線l的極坐標(biāo)方程，能求出直線l的直角坐標(biāo)方程．
（2）在曲線C上任取一點(diǎn)P（5cosα，3sinα），利用點(diǎn)到直線的距離公式能求出曲線C上的點(diǎn)到直線l的最小距離．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程為$C：\left\{\begin{array}{l}x=5cosα\\ y=3sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
∵直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（4cosθ-5sinθ）+40=0，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為4x-5y+40=0．
（2）在曲線C上任取一點(diǎn)P（5cosα，3sinα），
則點(diǎn)P到直線l的距離為：
d=$\frac{|20cosα-15sinα+40|}{\sqrt{41}}$=$\frac{|25sin（α+θ）+40|}{\sqrt{41}}$，
∵sin（α+θ）∈[-1，1]．
∴當(dāng)sin（α+θ）=-1時(shí)，曲線C上的點(diǎn)到直線l的最小距離為$\frac{15\sqrt{41}}{41}$．

點(diǎn)評 本題考查曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離的求法，考查曲線內(nèi)接矩形周長的最大值的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．