Question

已知函數(shù)f(x)=

1

4x+2

(x∈R)，點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，且線段P₁P₂的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

1

2

．
（Ⅰ）求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=f(

n

m

)(m∈N，n=1，2，…，m)，求數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)的和S_m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）由題可知：x₁+x₂=2×

1

2

=1，由y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=

1

4x1+2

+

1

4x2+2

化簡(jiǎn)整理可得y₁+y₂=

1

2

，從而可證點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：對(duì)任意自然數(shù)m，n，f（

n

m

）+f（

m-n

m

）=

1

2

恒成立，S_m=f（

1

m

）+f（

2

m

）+…+f（

m-2

m

）+f（

m-1

m

）+f（

m

m

），利用倒序相加法及可求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由題可知：x₁+x₂=2×

1

2

=1，所以，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=

1

4x1+2

+

1

4x2+2

=

4x1+4x2+4

(4x1+2)(4x2+2)

=

4x1+4x2+4 4x1+x2+2(4x1+4x2)+4

=

4x1+4x2+4 2(4x1+4x2+4)

=

1

2

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y_P=

y1+y2

2

=

1

4

是定值，問題得證．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：對(duì)任意自然數(shù)m，n，f（

n

m

）+f（

m-n

m

）=

1

2

恒成立．
由于S_m=f（

1

m

）+f（

2

m

）+…+f（

m-2

m

）+f（

m-1

m

）+f（

m

m

），故可考慮利用倒寫求和的方法．
即由于：S_m=f（

1

m

）+f（

2

m

）+…+f（

m-2

m

）+f（

m-1

m

）+f（

m

m

）
=f（

m

m

）+f（

m-1

m

）+f（

m-2

m

）+…+f（

2

m

）+f（

1

m

），
所以，2S_m=[f（

1

m

）+f（

m-1

m

）]+[f（

2

m

）+f（

m-2

m

）]+…+[f（

m-1

m

）+f（

1

m

）]+2f（

m

m

）
=

1

2

（m-1）+2f（1）=

1

6

（3m-1）．
所以，S_m=

1

12

（3m-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值，突出倒序相加法求和的考查，考查化簡(jiǎn)與運(yùn)算能力，屬于難題．