Question

12．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且a₁=b₁，a₂=3，a₃=9，a₄=b₁₄．
（Ⅰ）求{b_n}通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n-b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （I）利用等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則$q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{9}{3}=3$，
所以${a_1}=\frac{a_2}{q}=1$，a₄=a₃q=27，
所以${a_n}={3^{n-1}}$．…3分
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為d，
因為a₁=b₁=1，a₄=b₁₄=27，
所以1+3d=27，即d=2，
所以b_n=2n-1．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a_n}={3^{n-1}}$，b_n=2n-1，
所以${c_n}={a_n}-{b_n}={3^{n-1}}-2n+1$．…7分
從而數(shù)列{c_n}的前n項和${S_n}=1+3+…+{3^{n-1}}-[{1+3+…+（2n-1）}]$
=$\frac{{1-{3^n}}}{1-3}-\frac{n（1+2n-1）}{2}=\frac{3^n}{2}-{n^2}-\frac{1}{2}$．…10分．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．