Question

15．已知直線l：y=k（x-2）與拋物線C：y²=8x交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，若|AF|=3|BF|，則直線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)A，B兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為E，F(xiàn)，過B作AE的垂線BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直線AB的傾斜角，其正切值即為K值，在直角三角形ABC中，得出直線AB的斜率．

解答 解：如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為E，F(xiàn)′，
過B作AE的垂線BC，
在三角形ABC中，∠BAC等于直線AB的傾斜角，其正切值即為K值，
設(shè)|BF|=n，∵|AF|=3|BF|，∴|AF|=3n，
根據(jù)拋物線的定義得：|AE|=3n，|BF′|=n，
∴|AC|=2n，
在直角三角形ABC中，tan∠BAC=$\frac{\sqrt{16{n}^{2}-4{n}^{2}}}{2n}$=$\sqrt{3}$，
∴k_AB=k_AF=$\sqrt{3}$．
∴直線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$．
根據(jù)對稱性，直線l的傾斜角為$\frac{2π}{3}$，滿足題意．
故答案為$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線的傾斜角的求法，是中檔題，解題時要熟練掌握拋物線的簡單性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．