Question

15．已知函數(shù)f（x）=（ax²-lnx）（x-lnx）（a∈R）．
（1）當(dāng)a=6時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）設(shè)g（x）=x-lnx，（x＞0），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到若f（x）＞0恒成立，則ax²-lnx＞0恒成立，問題轉(zhuǎn)化為$a＞{（\frac{lnx}{x^2}）_{max}}$，設(shè)$h（x）=\frac{lnx}{x^2}（x＞0）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=6時(shí)，
$f'（x）=（12x-\frac{1}{x}）（x-lnx）+（6{x^2}-lnx）（1-\frac{1}{x}）$，
∴f'（1）=11，f（1）=6，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-6=11（x-1），
即y=11x-5．
（2）設(shè)g（x）=x-lnx，（x＞0），
則$g'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）遞減，
當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）遞增，
所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≥g（1）=1＞0．
若f（x）＞0恒成立，則ax²-lnx＞0恒成立，
∴$a＞{（\frac{lnx}{x^2}）_{max}}$．
設(shè)$h（x）=\frac{lnx}{x^2}（x＞0）$，則$h'（x）=\frac{1-2lnx}{x^2}$，
當(dāng)$0＜x＜{e^{\frac{1}{2}}}$時(shí)，h'（x）＞0，函數(shù)h（x）遞增，
當(dāng)$x＞{e^{\frac{1}{2}}}$時(shí)，h'（x）＜0，函數(shù)g（x）遞減，
所以當(dāng)x＞0時(shí)，$h{（x）_{max}}=h（{e^{\frac{1}{2}}}）=\frac{1}{2e}$，
∴.$a＞\frac{1}{2e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立，是一道中檔題．