Question

在直角坐標系xoy中，已知向量

a

=（-1，2），點A（8，0），B（ksinθ，t），（0≤θ≤

π

2

，t∈R）
（1）若

AB

⊥

a

，且|

OA

|=|

AB

|，求向量

OB

．
（2）若向量

AB

與向量

a

共線，當k＞4，且tsinθ取得最大值為4時，求

OA

•

OB

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,數量積判斷兩個平面向量的垂直關系

專題：平面向量及應用

分析：（1）根據已知，寫出

AB

=(ksinθ-8，t)，然后，根據垂直條件，求解即可；
（2）設

AB

=λ

a

，然后，借助于向量運算，構造關系式，tsinθ=（16-2ksinθ）sinθ，然后，進行求解．

解答： 解：（1）∵點A（8，0），B（ksinθ，t），
∴

AB

=(ksinθ-8，t)，
∵

AB

⊥

a

，
∴-ksinθ+8+2t=0，①
∵|

OA

|=|

AB

|，
∴8=

(ksinθ-8)2+t2

  ②
聯立①②，得
ksinθ-8=±

16 5

5

，
∴ksinθ=8±

16 5

5

，
∴t=±

8 5

5

，
∴

OB

=(8+

16 5

5

，

8 5

5

)或

OB

=(8-

16 5

5

，-

8 5

5

)．
（2）∵向量

AB

與向量

a

共線，
∴

AB

=λ

a

，
∴（ksinθ-8，t）=λ（-1，2），
∴

ksinθ-8=-λ t=2λ

，
∴ksinθ-8=-

t

2

，
∴t=16-2ksinθ，
∴tsinθ=（16-2ksinθ）sinθ
=-2ksin²θ+16sinθ
設sinθ=x，
∴f（x）=-2kx²+16x
=-2k（x-

4

k

）²+

32

k

，
∴

32

k

=4，
∴k=8，
sinθ=1，t=0，
∴B（8，0），
∴

OA

•

OB

=64．

點評：本題重點考查了平面向量的坐標運算、平面向量的基本運算等知識，屬于難題．