Question

8．已知焦距為2的橢圓W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為A₁，A₂，上、下頂點(diǎn)分別為B₁，B₂，點(diǎn)M（x₀，y₀）為橢圓W上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，且四條直線MA₁，MA₂，MB₁，MB₂的斜率之積為$\frac{1}{4}$．
（1）求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖所示，點(diǎn)A，D是橢圓W上兩點(diǎn)，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，AD⊥AB，點(diǎn)C在x軸上，且AC與x軸垂直，求證：B，C，D三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （1）由c=1，a²-b²=1，求得四條直線的斜率，由斜率乘積為$\frac{1}{4}$，代入求得a和b的關(guān)系，即可求得a和b的值，求得橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A，D的坐標(biāo)，代入橢圓方程，作差法，求得直線AD的斜率，由k_AD•k_AB=-1，代入求得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，由k_BD-k_BC=0，即可求證k_BD=k_BC，即可求證B，C，D三點(diǎn)共線．

解答 解：（1）由題意可知：2c=2，c=1，a²-b²=1，
∵M(jìn)（x₀，y₀）為橢圓W上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，${y}_{0}^{2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（a²-${x}_{0}^{2}$），${x}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$（b²-${y}_{0}^{2}$），
${k}_{M{A}_{1}}$•${k}_{M{A}_{2}}$•${k}_{{MB}_{1}}$•${k}_{M{B}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$•$\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}$•$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{0}^{2}-^{2}}{{x}_{0}^{2}}$，
=$\frac{\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{0}^{2}-^{2}}{\frac{{a}^{2}}{^{2}}（^{2}-{y}_{0}^{2}）}$=（$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$）²=$\frac{1}{4}$，則a²=2b²，
∴a²=2，b²=1，
∴橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：不妨設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），B的坐標(biāo)（-x₁，-y₁），C（x₁，0），
∵A，D在橢圓上，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}^{2}+2{y}_{1}^{2}=1}\\{{x}_{2}^{2}+2{y}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，=0，即（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
由AD⊥AB，
∴k_AD•k_AB=-1，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-1，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•（-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，）=-1，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
∴k_BD-k_BC=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=0，
k_BD=k_BC，
∴B，C，D三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．