Question

3．已成橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，上下頂點(diǎn)分別為B₂/B₁，左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，其中長軸長為4，且圓O：x²+y²=$\frac{12}{7}$為菱形A₁B₁A₂B₂的內(nèi)切圓．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)N（n，0）為x軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)N作橢圓C的切線l，記右焦點(diǎn)F₂在l上的射影為H，若△F₁HN的面積不小于$\frac{3}{16}$n²，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意求得a，直線A₂B₂的方程為$\frac{x}{2}+\frac{y}=1$，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得b的值，求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由△=0，求得m和n的關(guān)系，利用三角形的面積公式，求得m的取值范圍，代入即可求得n的取值范圍．

解答 解：（1）由題意知2a=4，所以a=2，
所以A₁（-2，0），A₂（2，0），B₁（0，-b），B₂（0，b），則
直線A₂B₂的方程為$\frac{x}{2}+\frac{y}=1$，即bx+2y-2b=0，
所以$\frac{丨-2b丨}{\sqrt{4+^{2}}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$，解得b²=3，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由題意，可設(shè)直線l的方程為x=my+n，m≠0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消去x得（3m²+4）y²+6mny+3（n²-4）=0，（*）
由直線l與橢圓C相切，得△=（6mn）²-4×3×（3m²+4）（n²-4）=0，
化簡得3m²-n²+4=0，
設(shè)點(diǎn)H（mt+n，t），由（1）知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），則$\frac{t-0}{（mt+n）-1}$•$\frac{1}{m}$=-1，
解得：t=-$\frac{m（n-1）}{1+{m}^{2}}$，
所以△F₁HN的面積${S}_{△{F}_{1}HN}$=$\frac{1}{2}$（n+1）丨-$\frac{m（n-1）}{1+{m}^{2}}$丨=$\frac{1}{2}$$\frac{丨m（{n}^{2}-1）丨}{1+{m}^{2}}$，
代入3m²-n²+4=0，消去n化簡得${S}_{△{F}_{1}HN}$=$\frac{3}{2}$丨m丨，
所以$\frac{3}{2}$丨m丨≥$\frac{3}{16}$n²=$\frac{3}{16}$（3m²+4），解得$\frac{2}{3}$≤丨m丨≤2，即$\frac{4}{9}$≤m²≤4，
從而$\frac{4}{9}$≤$\frac{{n}^{2}-4}{3}$≤4，又n＞0，
所以$\frac{4\sqrt{3}}{3}$≤n≤4，
故n的取值范圍為[$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，4]．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查韋達(dá)定理，三角形的面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．