Question

8．在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，若AC=BD=2，且AC與BD成 60°，則四邊形EFGH的面積為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{8}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 如圖所示，由E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，利用三角形中位線定理可得四邊形EFGH是平行四邊形，同理可得$EF=GH=\frac{1}{2}$AC，可得四邊形EFGH是菱形．根據(jù)AC與BD成 60°，可得∠FEH=60°或120^°．可得四邊形EFGH的面積．

解答 解：如圖所示，
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，
∴EH∥FG∥BD，EH=FH=$\frac{1}{2}$AC=1．
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
同理可得$EF=GH=\frac{1}{2}$AC=1，
∴四邊形EFGH是菱形．
∵AC與BD成 60°，∴∠FEH=60°或120^°．
∴四邊形EFGH的面積=$\frac{1}{2}E{F}^{2}sin6{0}^{°}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形與菱形定義、異面直線所成的角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．