Question

【題目】若定義在上，且不恒為零的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，總有恒成立，則稱(chēng)為“類(lèi)余弦型”函數(shù).

（1）已知為“類(lèi)余弦型”函數(shù)，且，求和的值；

（2）證明：函數(shù)為偶函數(shù)；

（3）若為“類(lèi)余弦型”函數(shù)，且對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，總有，設(shè)有理數(shù)、滿(mǎn)足，判斷和大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析；（3），理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）令，可求出的值，令可求出的值；

（2）令，代入題中等式得出，可證明出函數(shù)為偶函數(shù)；

（3）令，證明出，即可說(shuō)明對(duì)任意、且，有，然后設(shè)，，、是非負(fù)整數(shù)，、為正整數(shù)，利用偶函數(shù)和前面的結(jié)論，即可得出和的大小關(guān)系.

（1）令，，則有，，.

令，則有，所以，；

（2）令，可得，，

由于函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因此，函數(shù)為偶函數(shù)；

（3）時(shí)，，，

所以，，

令，即對(duì)任意的正整數(shù)有，

則，

所以，對(duì)于任意正整數(shù)，成立，

對(duì)任意的、且，則有成立，

、為有理數(shù)，所以可設(shè)，，其中、為非負(fù)整數(shù)，、為正整數(shù)，則，，

令，，，則、為正整數(shù)，

，，所以，，即，

函數(shù)為偶函數(shù)，，，.