Question

6．當(dāng)x＞1時，不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，3]．

Answer 1

分析 依題意知，a≤（x+$\frac{1}{x-1}$）_min（x＞1），利用基本不等式可求得x+$\frac{1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+1=3，從而可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：因為當(dāng)x＞1時，不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a恒成立，
所以，a≤（x+$\frac{1}{x-1}$）_min（x＞1），
因為x＞1時，x-1＞0，
所以x+$\frac{1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+1=3（當(dāng)且僅當(dāng)x-1=$\frac{1}{x-1}$，即x=2時取“=”），
所以，（x+$\frac{1}{x-1}$）_min=3，
故a≤3，
故答案為：（-∞，3]．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查等價轉(zhuǎn)化思想與基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．