Question

13．已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q是面對角線A₁C₁上的兩個不同的動點（包括端點A₁，C₁）．給出以下四個結論：
①存在P，Q兩點，使BP⊥DQ；
②存在P，Q兩點，使BP，DQ與直線B₁C都成45°的角；
③若PQ=1，則四面體BDPQ的體積一定是定值；
④若PQ=1，則四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積之和為定值．
以上各結論中，正確結論的個數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 令P與A₁點重合，Q與C₁點重合，可判斷①．當P與A₁點重合時，BP與直線B₁C所成的角最小，此時兩異面直線夾角為60°，可判斷②．根據(jù)平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個底面均為平面OBD，高之和為PQ的棱錐（其中O為上底面中心），可判斷③；根據(jù)四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積不變，可判斷④．

解答 解：對于①．當P與A₁點重合，Q與C₁點重合時，BP⊥DQ，故①正確；
對于②．當P與A₁點重合時，BP與直線B₁C所成的角最小，此時兩異面直線夾角為60°，故②錯誤．
對于③．設平面A₁B₁C₁D₁兩條對角線交點為O，則易得PQ⊥平面OBD．平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個底面均為平面OBD，高之和為PQ的棱錐，故四面體BDPQ的體積一定是定值，故③正確．
對于④．四面體BDPQ在上下兩個底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形，其面積為定值．四面體BDPQ在四個側(cè)面上的投影，均為上底為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，下底和高均為1的梯形，其面積為定值．故四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值．故④正確．
綜上可得：只有①③④正確．
故選：B．

點評 本題考查了綜合考查了正方體的性質(zhì)、空間位置關系、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、棱錐的體積計算公式、直角三角形的邊角關系、異面直線所成的角，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．