【題目】如圖,已知圓,點是圓內(nèi)一個定點,點是圓上任意一點,線段的垂直平分線和半徑相交于點.當(dāng)點在圓上運動時,點的軌跡為曲線.

1)求曲線的方程;

2)設(shè)過點的直線與曲線相交于兩點(點兩點之間).是否存在直線使得?若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.

【答案】12)存在,

【解析】

1)結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)和橢圓的定義,求出橢圓的方程.

2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達(dá)定理,利用,結(jié)合向量相等的坐標(biāo)表示,求得直線的斜率,進(jìn)而求得直線的方程.方法一和方法二的主要曲邊是直線的方程的設(shè)法的不同.

1)因為圓的方程為,

所以,半徑

因為是線段的垂直平分線,所以

所以

因為,

所以點的軌跡是以為焦點,長軸長的橢圓.

因為,

所以曲線的方程為

2)存在直線使得

方法一:因為點在曲線外,直線與曲線相交,

所以直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為

設(shè),

,

,

由題意知,解得

因為,

所以,即

把③代入①得,

把④代入②得,得,滿足

所以直線的方程為:

方法二:因為當(dāng)直線的斜率為0時,,,,

此時

因此設(shè)直線的方程為:

設(shè)

由題意知,解得,

,

因為,所以

把③代入①得

把④代入②得,,滿足

所以直線的方程為

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