Question

7．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線(xiàn)段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線(xiàn)與CD相交于點(diǎn)F．若AB=2，$AD=\sqrt{2}$，∠BAD=45°，則$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BE}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)兩個(gè)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，得到DF：BA═DE：BE=EF：AE=1：3，運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和向量中點(diǎn)的表示，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，向量的平方即為模的平方，將向量用$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}$表示，計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答 解：平行四邊形ABCD，AB=2，$AD=\sqrt{2}$，∠BAD=45°，DF∥AB，
可得△DEF∽△BEA，
E是線(xiàn)段OD的中點(diǎn)，
可得DF：BA═DE：BE=EF：AE=1：3，
$\overrightarrow{AF}$=$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{AE}$=$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AD}$）
=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AD}$）；
$\overrightarrow{BE}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{3}{4}$（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$），
則$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AD}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$×2-$\frac{1}{2}$×4-2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
=-$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的加減運(yùn)算，以及中點(diǎn)向量的表示和向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)：主要是向量的平方即為模的平方，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．