Question

12．某車間計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品每噸消耗A原料6噸、B原料4噸、C原料4噸，乙種產(chǎn)品每噸消耗A原料3噸、B原料12噸、C原料6噸．已知每天原料的使用限額為A原料240噸、B原料400噸、C原料240噸．生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每噸可獲利900元，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每噸可獲利600元，分別用x，y表示每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)
（Ⅰ）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；
（Ⅱ）每天分別生甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，才能使得利潤最大？并求出此最大利潤．

Answer 1

分析 （Ⅰ）寫出約束條件，畫出圖象即可，
（Ⅱ）設出目標函數(shù)，欲求利潤最大，即求可行域中的最優(yōu)解，將目標函數(shù)看成是一條直線，分析目標函數(shù)Z與直線截距的關系，進而求出最優(yōu)解．

解答 解：（Ⅰ）由已知x，y滿足的數(shù)學關系式為$\left\{\begin{array}{l}{6x+3y≤240}\\{4x+12y≤400}\\{4x+6y≤240}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分．
（Ⅱ）解：設利潤為z萬元，則目標函數(shù)z=900x+600y，所以y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{z}{600}$，這是斜率為-$\frac{3}{2}$，在y軸上的截距為$\frac{z}{600}$的一族平行直線．
當$\frac{z}{600}$取最大值時，z的值最大，又因為x，y滿足約束條件，所以由圖可知，當直線z=900x+600y經(jīng)過可行域中的點M時，截距$\frac{z}{600}$的值最大，即z的值最大．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{6x+3y=240}\\{4x+6y=240}\end{array}\right.$，得點M的坐標為（30，20），
所以Z_max=900×30+600×20=39000．
故每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品30噸，乙種產(chǎn)品20噸時利潤最大，且最大利潤為39000元．

點評 本題主要考查生活中的優(yōu)化問題，利用條件建立二元二次不等式組，利用線性規(guī)劃的知識進行求解是解決本題的關鍵．