Question

16．已知f（x）=|xe^x|，又g（x）=f²（x）-tf（x）（t∈R），若滿足g（x）=-1的x有四個(gè)，則t的取值范圍是（e+$\frac{1}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=λ，研究f（x）的單調(diào)性和極值，得出f（x）=λ的解的情況，從而確定關(guān)于λ的方程λ²-tλ+1=0的解的分布情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出t的范圍．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x{e}^{x}，x≥0}\\{-x{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=-e^x-xe^x=（-1-x）e^x，
∴當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)，在（-1，0）上是減函數(shù)．
當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極大值f（-1）=$\frac{1}{e}$．
令f（x）=λ，
又f（x）≥0，f（0）=0，
則當(dāng)λ＜0時(shí)，方程f（x）=λ無解；
當(dāng)λ=0或λ＞$\frac{1}{e}$時(shí)，方程f（x）=λ有一解；
當(dāng)λ=$\frac{1}{e}$時(shí)，方程f（x）=λ有兩解；
當(dāng)0＜λ＜$\frac{1}{e}$時(shí)，方程f（x）=λ有三解．
∵g（x）=f²（x）-tf（x）=-1有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
∴關(guān)于λ的方程λ²-tλ+1=0在（0，$\frac{1}{e}$）和（$\frac{1}{e}$，+∞）上各有一解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-4＞0}\\{\frac{1}{{e}^{2}}-\frac{t}{e}+1＜0}\end{array}\right.$，解得t$＞e+\frac{1}{e}$．
故答案為（e+$\frac{1}{e}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與單調(diào)性和極值的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，換元法解題思想，屬于中檔題．