Question

【題目】我國(guó)唐代詩(shī)人王維詩(shī)云：“明月松間照，清泉石上流”，這里明月和清泉，都是自然景物，沒(méi)有變，形容詞“明”對(duì)“清”，名詞“月”對(duì)“泉”，詞性不變，其余各詞均如此．變化中的不變性質(zhì)，在文學(xué)和數(shù)學(xué)中都廣泛存在．比如我們利用幾何畫(huà)板軟件作出拋物線(xiàn)C：x2=y的圖象（如圖），過(guò)交點(diǎn)F作直線(xiàn)l交C于A(yíng)、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別作C的切線(xiàn)，兩切線(xiàn)交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交C于點(diǎn)N，拖動(dòng)點(diǎn)B在C上運(yùn)動(dòng)，會(huì)發(fā)現(xiàn) 是一個(gè)定值，該定值是 ．

Answer 1

【答案】1
【解析】解：線(xiàn)段AB是過(guò)拋物線(xiàn)x2=y焦點(diǎn)F的弦，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作此拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，兩切線(xiàn)相交于N點(diǎn)．N點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上．下面證明
證明：由拋物線(xiàn)x2=y，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0， ）．
設(shè)A（x1 ， x12），B（x2 ， x22），
直線(xiàn)l：y=kx+ 代入拋物線(xiàn)x2=y得：x2﹣kx﹣ =0．
∴x1x2=﹣ …①．
又拋物線(xiàn)方程為：y=x2 ，
求導(dǎo)得y′=2x，
∴拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)的斜率為2x1 ， 切線(xiàn)方程為y﹣x12=2x1（x﹣x1）…②
拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)的斜率為2x2 ， 切線(xiàn)方程為yx22﹣=2x2（x﹣x2）…③
由①②③得：y=﹣ ．
∴P的軌跡方程是y=﹣ ，即N在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；
根據(jù)拋物線(xiàn)的定義知：NF=NP，∴ 是一個(gè)定值1．
所以答案是：1