Question

16．圓柱的軸截面是一個對角線長為2的矩形，則該圓柱表面積的最大值是（　　）

• A． 3π
• B． （2+$\sqrt{2}$）π
• C． （1+$\sqrt{5}$）π
• D． 4π

Answer 1

分析 設(shè)圓柱底面直徑和母線長分別為2a，b，求出底面半徑，代入圓柱表面積公式，利用導(dǎo)數(shù)可得答案．

解答 解：設(shè)圓柱底面直徑和母線長分別為2a，b，
∴4a²+b²=4，
設(shè)a=cosα，b=2sinα（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
∴圓柱的表面積S=2πa（b+a）=2π×cosα（2sinα+cosα），
∴S′=2π（2cos2α-sin2α），
∴tan2α=2時，S取得最大值，此時sin2α=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cos2α=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴S=2π×cosα（2sinα+cosα）=2π（sin2α+$\frac{cos2α+1}{2}$）=（1+$\sqrt{5}$）π，
故選：C

點評 本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體的表面積，熟練掌握圓柱的表面積公式，正確求導(dǎo)是解答的關(guān)鍵．