Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P（3，1）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)，α為l的傾斜角）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．曲線C₁：ρ=2cosθ，曲線C₂：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）若直線l與曲線C₁有且僅有一個公共點(diǎn)，求直線l的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C₁交于不同兩點(diǎn)C、D，與C₂交于不同兩點(diǎn)A、B，這四點(diǎn)從左至右依次為B、D、C、A，求|AC|-|BD|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₁：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入可得C₁的直角坐標(biāo)方程．直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)，α為l的傾斜角），消去參數(shù)t化為普通方程，利用直線與圓相切的充要條件可得：tanα=0或$tanα=\frac{4}{3}$．即可得出直線l的直角坐標(biāo)方程，化為極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由直線l與曲線C₁交于不同兩點(diǎn)C、D，由（1）可知$0＜tanα＜\frac{4}{3}$．令兩點(diǎn)C、D對應(yīng)參數(shù)分別為t₁、t₂，聯(lián)立l與C₁得，t²+（4cosα+2sinα）t+4=0，令兩點(diǎn)A、B對應(yīng)參數(shù)分別為t₃、t₄，聯(lián)立l與C₂得，t²+（2cosα+2sinα）t-2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|AC|-|BD|=（t₃-t₁）-（t₂-t₄）=（t₃+t₄）-（t₁+t₂）即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，
代入可得C₁的直角坐標(biāo)方程為：（x-1）²+y²=1，圓心為（1，0），半徑為1，
直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)，α為l的傾斜角），化為普通方程為：y-1=tanα（x-3）．
由題l與C₁相切，則$\frac{{|{2tanα-1}|}}{{\sqrt{1+{{tan}^2}α}}}=1$，
解得，tanα=0或$tanα=\frac{4}{3}$．
∴直線l的普通方程為：y=1或4x-3y-9=0，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為：ρsinθ=1或4ρcosθ-3ρsinθ-9=0．
（Ⅱ）∵直線l與曲線C₁交于不同兩點(diǎn)C、D，由（1）可知$0＜tanα＜\frac{4}{3}$．
令兩點(diǎn)C、D對應(yīng)參數(shù)分別為t₁、t₂，聯(lián)立l與C₁得，（2+tcosα）²+（1+tsinα）²=1，
即，t²+（4cosα+2sinα）t+4=0，
∴t₁+t₂=-（4cosα+2sinα），
又C₂的直角坐標(biāo)方程為：（x-2）²+y²=4，
令兩點(diǎn)A、B對應(yīng)參數(shù)分別為t₃、t₄，聯(lián)立l與C₂得，（1+tcosα）²+（1+tsinα）²=4，
即，t²+（2cosα+2sinα）t-2=0，可得t₃+t₄=-（2cosα+2sinα），
而|AC|-|BD|=（t₃-t₁）-（t₂-t₄）=（t₃+t₄）-（t₁+t₂）=2cosα，
∴|AC|-|BD|的取值范圍是$（\frac{6}{5}，2）$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．