Question

15．a(chǎn)＞0，b＞0，且a，b互不相等$\frac{a+b}{2}$，$\frac{2ab}{a+b}$，$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$，$\sqrt{ab}$；則它們大小關(guān)系是$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$．（用”＜”號(hào)連接．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，先由基本不等式的性質(zhì)可得$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$，利用作差法比較（$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$）²與（$\frac{a+b}{2}$）²的大小可得$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$，利用不等式的性質(zhì)分析可得$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$，綜合可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，由基本不等式可得$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，又由a，b互不相等，則有$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$，
而（$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$）²-（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{2（{a}^{2}+^{2}）}{4}$-$\frac{{a}^{2}+^{2}+2ab}{4}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-2ab}{4}$＞0，則有（$\frac{a+b}{2}$）²＜（$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$）²，即有$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$，
又由$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$，則有$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，即$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$，
綜合有$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$；
故答案為：$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的應(yīng)用，注意a，b互不相等的這一條件．