如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC,側(cè)棱AA1與底面ABC成60°的 角,AA1=2.底面ABC是邊長為2的正三角形,其重心為G點,E是線段BC1上一點,且BE=3(1)BC1.

(1)求證:GE∥側(cè)面AA1B1B;
(2)求平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的正切值;
(3)求點B到平面B1GE的距離.

(1)詳見解析;(2);(3)

解析試題分析:(1)證明直線和平面平行的方法一般有兩種,其一是利用線面平行的判定定理,在平面內(nèi)找一條直線和平面外的直線平行,其二是利用面面平行的性質(zhì)定理,先證明面面平行,其次說明線和面平行,延長于點,則是中點,所以三點共線,根據(jù)線段成比例,可證明,從而可證明GE∥側(cè)面AA1B1B;(2)以為坐標原點,的方向為軸,建立坐標系,再求半平面的法向量,再求其夾角,進而可得二面角的余弦值,再轉(zhuǎn)換為正切值;(3)點到面的距離是點到平面垂線段的長度,如果垂足不好確定,可考慮等體積轉(zhuǎn)換,點到面的距離就是點到面的距離,設為,利用,可求.
試題解析:(1)延長B1E交BC于點F,∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC, 從而點F為BC的中點,∵G為△ABC的重心,∴A、G、F三點共線.且, 又GE側(cè)面AA1B1B,∴GE//側(cè)面AA1B1B;
(2)取中點,則,以為坐標原點,的方向為軸,建立坐標系,則,,,,
,. ∵G為△ABC的重心,
.,∴, 設平面B1GE的法向量為,則由可取又底面ABC的一個法向量為, 設平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小為,則,由于為銳角,所以,進而, 故平面B1GE與底面ABC成銳二面角的正切值為;   
(3)由題意點到面的距離就是點到面的距離,設為,易求得
,,又,∴,,
考點:1、直線和平面平行的判定;2、二面角的求法;3、點到面的距離.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,已知四棱錐中,底面是直角梯形,,,,平面,. 
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)若的中點,求三棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知中,,的中點,分別在線段上的動點,且,,把沿折起,如下圖所示,

(Ⅰ)求證:平面
(Ⅱ)當二面角為直二面角時,是否存在點,使得直線與平面所成的角為,若存在求的長,若不存在說明理由。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,四棱錐中,面,底面是直角梯形,側(cè)面是等腰直角三角形.且,,

(1)判斷的位置關系;
(2)求三棱錐的體積;
(3)若點是線段上一點,當//平面時,求的長.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

,,,平面⊥平面,是線段上一點,

(Ⅰ)證明:⊥平面;
(Ⅱ)若,求直線與平面所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面⊥底面,側(cè)棱與底面的角,.底面是邊長為2的正三角形,其重心為點,是線段上一點,且

(Ⅰ)求證://側(cè)面;
(Ⅱ)求平面與底面所成銳二面角的正切值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,若PA=AB=BC=,AD=1.

(I)求證:CD⊥平面PAC;
(II)求二面角A-PD-C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

四棱錐底面是平行四邊形,面,,,分別為的中點.

(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,四棱錐的底面是正方形,棱底面,=1,的中點.

(1)證明平面平面; 
(2)求二面角的余弦值.

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