Question

17．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$\sqrt{3}$a=2csinA．
（1）求角C的值；
（2）若c=$\sqrt{13}$，且S_△ABC=3$\sqrt{3}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{3}$a=2csinA及正弦定理得$\sqrt{3}$sinA=2sinCsinA，又sinA≠0，可sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．又△ABC是銳角三角形，即可求C．
（2）由面積公式，可解得ab=12，由余弦定理，可解得a²+b²-ab=13，聯(lián)立方程即可解得a+b的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由$\sqrt{3}$a=2csinA及正弦定理，得$\sqrt{3}$sinA=2sinCsinA，
∵sinA≠0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又∵△ABC是銳角三角形，
∴C=$\frac{π}{3}$…（4分）
（2）∵c=$\sqrt{13}$，C=$\frac{π}{3}$，
∴由面積公式，得$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$，即ab=12．①
由余弦定理，得a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$=13，
即a²+b²-ab=13．②
由②變形得（a+b）²=3ab+13．③
將①代入③得（a+b）²=49，故a+b=7…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題．