Question

4．已知m，n是滿足m+n=1，且使$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$取得最小值的正實(shí)數(shù)，若函數(shù)y=x^a過點(diǎn) P（m，$\frac{2}{3}$n），則α的值為（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -1

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由基本不等式的性質(zhì)分析可得m=$\frac{1}{4}$、n=$\frac{3}{4}$時(shí)，$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$取到最小值，可得P的坐標(biāo)，將p的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$）（m+n）=10+（$\frac{9m}{n}$+$\frac{n}{m}$）≥10+2$\sqrt{\frac{9m}{n}•\frac{n}{m}}$=16，
分析可得：當(dāng)$\frac{9m}{n}$=$\frac{n}{m}$，即n=3m時(shí)，$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$取到最小值16，
又由m+n=1，
即m=$\frac{1}{4}$、n=$\frac{3}{4}$時(shí)，$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$取到最小值16，
則P（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
則有（$\frac{1}{4}$）^α=$\frac{1}{2}$，
解可得α=$\frac{1}{2}$；
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式求最值，涉及冪函數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵是求出m、n的值．