Question

9．已知拋物線關于y軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點M（$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$）
（1）求拋物線的標準方程．
（2）如果直線y=x+m與這個拋物線交于不同的兩點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設拋物線方程，將M代入拋物方程，即可求得p的值，求得拋物線方程；
（2）將直線方程代入拋物線方程，由△＞0，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）因為拋物線關于y軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點M（$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），則拋物線的焦點在y的負半軸上，
∴可設它的標準方程為：x²=-2py（p＞0），
又因為點M在拋物線上，則3=-2p×（-2$\sqrt{3}$），解得：p=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴橢圓的標準方程：x²=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$y；
（2）將直線方程代入拋物線方程：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}y}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，整理得2x²+$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$m=0，
則△=b²-4ac=3-8$\sqrt{3}$m＞0，解得：m＜$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
m的取值范圍（-∞，$\frac{\sqrt{3}}{8}$）．

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，考查直線與拋物線的交點問題，考查計算能力，屬于中檔題．