Question

18．已知函數(shù)f（x）=log₃（9^x+1）-x．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=log₃（a+2-$\frac{a+4}{{3}^{x}}$），若關(guān)于x的不等式f（x）≥g（x）對x∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=log₃（9^x+1）-x為偶函數(shù)．運(yùn)用奇偶性的定義，計(jì)算f（-x）與f（x）的關(guān)系，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可得到結(jié)論；
（2）由題意可得log₃（3^-x+3^x）≥log₃（a+2-$\frac{a+4}{{3}^{x}}$），即有3^-x+3^x≥a+2-$\frac{a+4}{{3}^{x}}$＞0，即為1+9^x≥a（3^x-1）+2•3^x-4，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和換元法，以及參數(shù)分離，結(jié)合基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=log₃（9^x+1）-x為偶函數(shù)．
理由：定義域?yàn)镽，f（x）=log₃（9^x+1）-log₃3^x=log₃$\frac{{9}^{x}+1}{{3}^{x}}$
=log₃（3^x+3^-x），
f（-x）=log₃（3^-x+3^x）=f（x），
則f（x）為偶函數(shù)；
（2）函數(shù)g（x）=log₃（a+2-$\frac{a+4}{{3}^{x}}$），
若關(guān)于x的不等式f（x）≥g（x）對x∈[-1，1]恒成立，
即為log₃（3^-x+3^x）≥log₃（a+2-$\frac{a+4}{{3}^{x}}$），
即有3^-x+3^x≥a+2-$\frac{a+4}{{3}^{x}}$＞0，
即為1+9^x≥a（3^x-1）+2•3^x-4＞0，
當(dāng)x=0時(shí)，2≥-2，但-2＜0不恒成立；
當(dāng)0＜x≤1，即有1＜3^x≤3，t=3^x-1（0＜t≤2），
可得1+（1+t）²≥at+2•（1+t）-4，
即為a≤t+$\frac{4}{t}$，由t+$\frac{4}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)t=2取得等號．
即有a≤4，
又a（3^x-1）+2•3^x-4＞0，即為a＞$\frac{2t-2}{t}$，
而$\frac{2t-2}{t}$∈[1，2），即有a＞1，即為1＜a≤4；
當(dāng)-1≤x＜0，即有$\frac{1}{3}$≤3^x＜1，t=3^x-1（-$\frac{2}{3}$≤t＜0），
即有a≥t+$\frac{4}{t}$，由t+$\frac{4}{t}$的導(dǎo)數(shù)為1-$\frac{4}{{t}^{2}}$＜0，[-$\frac{2}{3}$，0）為減區(qū)間，
可得a≥-$\frac{2}{3}$-6=-$\frac{20}{3}$，
又a＜$\frac{2t-2}{t}$，
而$\frac{2t-2}{t}$∈[5，+∞），即有a＜5，即為-$\frac{20}{3}$≤a＜5．
綜上可得，a的取值范圍是（1，4]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明，注意運(yùn)用定義法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用分離參數(shù)和分類討論思想方法，考查基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．