Question

4．已知P為橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左、右焦點(diǎn)，M為PF₁中點(diǎn)．如圖所示：若|OM|+$\frac{1}{2}$|PF₁|=2，離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線l經(jīng)過（-1，$\frac{1}{2}$）且斜率為$\frac{1}{2}$與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求弦長|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由|OM|+$\frac{1}{2}$|PF₁|=2，又|OM|=$\frac{1}{2}$|PF₂|，$\frac{1}{2}$|PF₁|+$\frac{1}{2}$|PF₂|=2，可得a．又e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²．解出即可得出．
（Ⅱ）法一：設(shè)直線l：y-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（x+1），聯(lián)立直線與橢圓得：x²+2x=0，解出交點(diǎn)坐標(biāo)利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．
法二：聯(lián)立方程得x²+2x=0，利用|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由|OM|+$\frac{1}{2}$|PF₁|=2，又|OM|=$\frac{1}{2}$|PF₂|，∴$\frac{1}{2}$|PF₁|+$\frac{1}{2}$|PF₂|=2，
∴a=2．
離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²．
解得b=1，c=$\sqrt{3}$．
故所求的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）法一：設(shè)直線l：y-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（x+1），
聯(lián)立直線與橢圓得：x²+2x=0，
所以，直線與橢圓相交兩點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），（-2，0）．
∴|AB|=$\sqrt{{1}^{2}+（-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
法二：聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$，得x²+2x=0，
∴x₁+x₂=-2，x₁•x₂=0，
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形中位線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．