Question

1．已知函數(shù)f（x）=ae^x-x²-（3a+1）x，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，ln3）上有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{1}{2}$）
• B． （-∞，-1）
• C． （-1，-$\frac{1}{2}$）
• D． （-∞，-2）∪（0，1）

Answer 1

分析 f′（x）=ae^x-2x-（3a+1）=g（x），由函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，ln3）上有最值?g（x）在區(qū)間（0，ln3）上存在零點(diǎn)．利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可得出．

解答 解：f′（x）=ae^x-2x-（3a+1）=g（x），
由函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，ln3）上有最值?g（x）在區(qū)間（0，ln3）上單調(diào)且存在零點(diǎn)．
∴g（0）g（ln3）=（a-3a-1）（3a-2ln3-3a-1）＜0，
可得2a+1＜0，解得a＜-$\frac{1}{2}$．
此時g′（x）=ae^x-2在區(qū)間（0，ln3）上單調(diào)遞減．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$）．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了利用對數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)零點(diǎn)存在定理、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．