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12.已知A、B分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn),兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)P、Q在橢圓C上且關(guān)于x軸對(duì)稱,設(shè)直線AP、BQ的斜率分別為m、n,則當(dāng)12mn+ln|m|+ln|n|取最小值時(shí),橢圓C的離心率為( �。�
A.22B.12C.23D.33

分析 由題意設(shè)出P,Q的坐標(biāo),代入橢圓方程可得y02a2x02=2a2,寫(xiě)出AP,BQ的斜率m,n,求出mn=2a2,代入12mn+ln|m|+ln|n|,換元后利用導(dǎo)數(shù)求最值,得到使12mn+ln|m|+ln|n|取最小值的條件,即可求得橢圓C的離心率.

解答 解:設(shè)P(x0,y0),則Q(x0,-y0),
x02a2+y022=1,則y02=2a2a2x02,
y02a2x02=2a2
又A(-a,0),B(a,0),
∴m=y0x0+a,n=y0ax0,
∴mn=y0x0+ay0ax0=y02a2x02=2a2,
12mn+ln|m|+ln|n|=a222+ln2a2,
a=t(t>1),則f(t)=12mn+ln|m|+ln|n|=a222+ln2a2=t222lnt,
f′(t)=t-2t=t22t,
當(dāng)t∈(1,2)時(shí),f′(t)<0,當(dāng)t∈(2,+∞)時(shí),f′(t)>0,
∴f(t)在(1,2)上為減函數(shù),在(2,+∞)上為增函數(shù).
可知:當(dāng)t=2,即a=2時(shí),函數(shù)f(t)取得最小值.
a22=a2a2c2=2,即a2=2c2
c2a2=12,得e=22
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值,考查了推理能力與計(jì)算能力,是中檔題.

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