Question

設(shè)無窮等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n.
(Ⅰ)若首項，公差，求滿足的正整數(shù)k；
(Ⅱ)求所有的無窮等差數(shù)列{a_n}，使得對于一切正整數(shù)k都有成立

Answer 1

(Ⅰ)            (Ⅱ)見解析

【錯解分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力.學(xué)生在解第(Ⅱ)時極易根據(jù)條件“對于一切正整數(shù)k都有成立”這句話將k取兩個特殊值確定出等差數(shù)列的首項和公差，但沒有認(rèn)識到求解出的等差數(shù)列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般。
【正解】解：（I）當(dāng)時
由，即  又.
（II）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則在中分別取k=1,2,得

由（1）得 當(dāng)
若成立         ,
若故所
數(shù)列不符合題意.當(dāng)
若
若.
綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列：
①{a_n} : a_n=0，即0，0，0，…；②{a_n} : a_n=1，即1，1，1，…； ③{a_n} : a_n=2n－1，即1，3，5，…，