13.如圖,正四棱錐P-ABCD中底面邊長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$,側(cè)棱PA與底面ABCD所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$.
(1)求正四棱錐P-ABCD的外接球半徑;
(2)若E是PB中點(diǎn),求異面直線PD與AE所成角的正切值.

分析 (1)連結(jié)AC,BD交于點(diǎn)O,連結(jié)PO,則PO⊥面ABCD,利用側(cè)棱PA與底面ABCD所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$,可得PO=$\sqrt{6}$,利用勾股定理建立方程,求出R;
(2)容易證明以EO$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}PD$.可得∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角,在Rt△AOE中求解

解答 解:(1)連結(jié)AC,BD交于點(diǎn)O,連結(jié)PO,則PO⊥面ABCD,
∴∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角,
∴tan∠PAO=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$.
又AB=2$\sqrt{2}$,則PO=AO•tan∠PAO=$\sqrt{6}$.
設(shè)F為外接球球心,連FA,
易知FA=FP,設(shè)FO=x,則
x2+4=($\sqrt{6}$-x)2,
∴x=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,
∴正四棱錐P-ABCD的外接球半徑為$\frac{5\sqrt{6}}{6}$;
(2)連結(jié)EO,由于O為BD中點(diǎn),E為PD中點(diǎn),所以EO$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}PD$.
∴∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角.
在Rt△POD中,$PD=\sqrt{O{D^2}+P{O^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$.
∴$EO=\frac{{\sqrt{5}}}{4}$.
由AO⊥BD,AO⊥PO可知AO⊥面PBD.
所以AO⊥EO,
在Rt△OAE中,tan∠AEO=$\frac{AO}{EO}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{4}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$,
即異面直線PD與AE所成角的正切值為$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查正四棱錐P-ABCD的外接球的表面積,考查學(xué)生的計(jì)算能力,正確求出正四棱錐P-ABCD的外接球的半徑是關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

11.已知空間向量$\overrightarrow a=(x,4,3)$,$\overrightarrow b=(3,2,z)$,若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$,則xz=9.

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4.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的圖象過(guò)原點(diǎn),且f(x)在x=-1,x=3處取得極值.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)若函數(shù)y=f(x)與y=m的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

1.某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和物理成績(jī)優(yōu)秀之間的關(guān)系,隨機(jī)抽取高二年級(jí)20名學(xué)生某次考試成績(jī)(百分制)如表所示:
序號(hào)1234567891011121314151617181920
數(shù)學(xué)9575809492656784987167936478779057927293
物理9063729291715891938177824891699661847893
規(guī)定:數(shù)學(xué)、物理成績(jī)90分(含90分)以上為優(yōu)秀.
(Ⅰ)根據(jù)上表完成下面的2×2列聯(lián)表,并說(shuō)明能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理成績(jī)優(yōu)秀之間有關(guān)系?
優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)
優(yōu)秀628
不優(yōu)秀21012
合計(jì)81220
(Ⅱ)記數(shù)學(xué)、物理成績(jī)均優(yōu)秀的6名學(xué)生為A、B、C、D、E、F,現(xiàn)從中選2名學(xué)生進(jìn)行自主招生培訓(xùn),求A、B兩人中至少有一人被選中的概率.
參考公式及數(shù)據(jù):K2=$\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(K2≥k00.10.050.010.005
k02.7063.8416.6357.879

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8.為了了解某學(xué)校高二年級(jí)學(xué)生的物理成績(jī),從中抽取n名學(xué)生的物理成績(jī)(百分制)作為樣本,按成績(jī)分成 5組:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],頻率分布直方圖如圖所示,成績(jī)落在[70,80)中的人數(shù)為20.
(1)求a和n的值;
(2)設(shè)成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)為優(yōu)秀,已知樣本中成績(jī)落在[50,80)中的男、女生人數(shù)比為1:2,成績(jī)落在[80,100]中的男、女生人數(shù)比為3:2,請(qǐng)完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為物理成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān).
參考公式和數(shù)據(jù):K2=$\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(K2≥k)0.500.050.0250.005
k0.4553.8415.0247.879
男生女生合計(jì)
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
合計(jì)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

18.設(shè)集合A={y|y=sinx,x∈R},B={x|y=lg(-x)},則A∩B=(  )
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5.已知函數(shù)f(x)=$\sqrt{3}$sin2x-2sin2x+2,x∈R.
( I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間以及對(duì)稱中心;
( II)若函數(shù)f(x)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位后,得到的函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,求實(shí)數(shù)m的最小值.

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2.曲線y=$\frac{x}{x-2}$在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程為(  )
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(1)求直線l在y軸上的截距b的取值范圍;
(2)是否存在直線l,使得以弦AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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